Cette page vous fournit une preuve de la loi de Betz. Avant de lire cette page, vous devez avoir lu les pages dans la Visite guidée sur la déviation du vent provoquée par une éolienne et la loi de Betz . Si vous ne comprenez pas l'argumentation suivante en détail, vous devez tout de même survoler la page pour avoir une impression du raisonnement qu'a utilisé Betz lui-même dans son livre Wind-Energie de 1926 pour expliquer la loi.

Partons de la supposition raisonnable que la vitesse moyenne du vent traversant la surface balayée par le rotor est égale à la moyenne de la vitesse moyenne du vent non perturbé à l'avant de l'éolienne (v 1 ), et de sa vitesse après le passage à travers le plan de rotor v 2 , soit (v 1 +v 2 )/2. (Betz fait une preuve de cette supposition dans son livre.)

La masse de l'air traversant la surface balayée par le rotor en une seconde est égale à :

m =   F (v 1 +v 2 )/2

où m est la masse par seconde, P la densité de l'air, F la surface balayée par le rotor, et [(v 1 +v 2 )/2] la vitesse moyenne du vent traversant le rotor. La puissance extraite du vent par le rotor est égale à la masse multipliée par le carré de la diminution de la vitesse du vent (selon la seconde loi de Newton) :

P = (1/2) m (v 1 2  - v 2 2 )

En substituant m (de la première équation) dans cette expression, nous obtenons l'expression suivante de la puissance extraite du vent :

P = ( /4) (v 1 2  - v 2 2 ) (v 1 +v 2 ) F

Comparons maintenant notre résultat avec la puissance totale d'un flux d'air non perturbé traversant une surface similaire F sans la présence d'un rotor qui ralentit le vent. Nous appelons cette puissance P 0  :

P 0  = ( /2) v 1 3  F

Le ratio entre la puissance extraite du vent et celle du vent non perturbé sera alors :

(P/P 0 ) = (1/2) (1 - (v 2  / v 1 ) 2 ) (1 + (v 2  / v 1 ))

Nous pouvons tracer P/P 0 en fonction de v 2 /v 1  : Comme vous pouvez le voir, la fonction atteint son maximum pour v 2 /v 1  = 1/3, la valeur maximale pour la puissance extractible du vent étant de 0,59 ou 16/27 de la puissance totale contenue dans le vent.

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