Esta página le proporciona una demostración de la ley de Betz. Antes de leer esta página deberá haber leído las páginas de la visita guiada sobre como un aerogenerador desvía el viento y la ley de Betz. Si no comprende el razonamiento de forma detallada, simplemente examine por encima el resto de esta página, que utiliza el razonamiento que el propio Betz hizo en su libro "Wind- Energie" de 1926 para explicar la ley. 

Consideremos, cosa bastante razonable, que la velocidad promedio del viento a través del área del rotor es el promedio de la velocidad del viento sin perturbar antes de la turbina eólica, v 1 , y la velocidad del viento después de su paso por el plano del rotor, v 2 , esto es, (v 1 +v 2 )/2. (Betz ofrece una demostración de esto).

La masa de la corriente de aire a través del rotor durante un segundo es

m =   F (v 1 +v 2 )/2

donde m es la masa por segundo, es la densidad del aire, F es el área barrida por el rotor y [(v 1 +v 2 )/2] es la velocidad del viento promedio a través del área del rotor. La potencia del viento extraída por el rotor es igual a la masa por la diferencia de los cuadrados de la velocidad del viento (de acuerdo con la segunda ley de Newton):

P = (1/2) m (v 1 2  - v 2 2 )

Sustituyendo en esta expresión la m de la primera ecuación obtenemos la siguiente expresión para la potencia extraída del viento:

P = ( /4) (v 1 2  - v 2 2 ) (v 1 +v 2 ) F

Ahora, comparemos nuestro resultado con la potencia total de una corriente de viento no perturbada a través de exactamente la misma área F, sin ningún rotor que bloquee el viento. Llamamos a esta potencia P 0 :

P 0  = ( /2) v 1 3  F

El ratio entre la potencia que extraemos del viento y la potencia del viento sin perturbar es:

(P/P 0 ) = (1/2) (1 - (v 2  / v 1 ) 2 ) (1 + (v 2  / v 1 ))

Podemos dibujar P/P 0 en función de v 2 /v 1 : Podemos ver que la función alcanza su máximo para v 2 /v 1  = 1/3, y que el valor máximo de la potencia extraída del viento es de 0,59 veces ó 16/27 de la potencia total del viento.

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